วันอาทิตย์ที่ 23 สิงหาคม พ.ศ. 2552

ทฤษฎีหลักสูตร

ทฤษฎีหลักสูตรจากความหมายต่าง ๆ ของหลักสูตร การวางแผนพัฒนาหลักสูตรจำเป็นต้องอาศัยความเชื่อและทฤษฎีต่าง ๆ ทางการศึกษา ซึ่งมีนักการศึกษาได้กำหนดไว้หลายแนวดังนี้1. หลักสูตรเป็นวิชาและเนื้อหาวิชา ผู้มองหลักสูตรในแนวนี้คือ ผู้ที่ยึดลัทธิสัจนิยม ( Perennialism ) และสาระนิยม ( Essentialism ) ตลอดจนผู้ที่ถือว่าการศึกษาคือการฝึกวินัยทางจิต ( Mental Discipline ) ซึ่งเห็นว่า หลักสูตรในโรงเรียนควรประกอบด้วยวิชาที่สำคัญที่จะธำรงไว้ซึ่งคุณลักษณะแห่งความเป็นมนุษย์และเป็นการฝึกสมอง เช่น วิชาที่ยาก ๆ โดยเฉพาะการศึกษาโครงสร้างของวิชาต่าง ๆ ที่จัดเป็นหมวดหมู่อย่างชัดเจน เช่น โครงสร้างของวิชาคณิตศาสตร์เป็นตรรกศาสตร์ โดยเฉพาะการหาเหตุผลแบบอนุมาน ข้อสังเกตสำหรับการกำหนดหลักสูตรในแนวนี้ คือ ไม่ได้ให้ความสนใจและความสำคัญในผู้เรียน (ซึ่งเป็นองค์ประกอบสำคัญในการพัฒนาหลักสูตร )2. หลักสูตรเป็นประสบการณ์ ยึดลัทธิก้าวหน้านิยม ( Progressivism ) โดยเชื่อว่าวัฒนธรรมคือ สิ่งแวดล้อมของสังคม คนจะต้องยอมรับสภาพของสังคม และปรับสภาพสังคมให้ดีขึ้น จึงยึดหลักนักเรียนเป็นศูนย์กลาง ( child centered ) โดยดูความสนใจของผู้เรียนเป็นหลักในการสอนและการจัดประสบการณ์ให้เขา หลักสูตรจึงหมายถึงประสบการณ์ทั้งมวลที่นักเรียนจะพึงได้รับภายใต้การนำของครู3. หลักสูตรเป็นจุดประสงค์ ถือว่าการสอนเป็นหนทางอย่างหนึ่งที่จะนำไปสู่จุดประสงค์ที่กำหนด4. หลักสูตรเป็นแผนการ หลักสูตรคือแผนการที่จะนำไปสู่การเรียนรู้ เป็นสิ่งที่เกิดจากความตั้งใจและคาดการณ์ไว้ล่วงหน้า โดยเพ่งเล็งไปที่จุดมุ่งหมายของการศึกษา รวมถึงการจัดวางหลักสูตรการนำหลักสูตรไปใช้ในด้านการปฏิบัติ คือ การสอน และการประเมินผลหลักสูตรเพื่อให้เหมาะกับสภาพท้องถิ่น5. หลักสูตรเป็นระบบการผลิต มองการให้การศึกษาเช่นเดียวกับระบบการผลิตสินค้า โดยคำนึงถึงทุนที่ได้ลงไปกับผลที่ตามออกมา จึงพยายามทำหลักสูตรให้เป็นรูปธรรมมากที่สุด เช่น เขียนในรูปจุดประสงค์เชิงพฤติกรรม มีการวิเคราะห์งาน วิเคราะห์กิจกรรม ดังเช่น หลักสูตรระดับมัธยมศึกษา พ.ศ. 2521ดร. ฉวีวรรณ เศวตมาลย์จากข้อความดังกล่าวสรุปได้ว่าทฤษฎีเป็นแนวคิดใหม่ที่นักพัฒนาหลักสูตรได้นำมาใช้ ทฤษฎีหลักสูตรเป็นการผสมผสานทฤษฎีต่างๆที่เกี่ยวข้องกับการศึกษาเข้ามาไว้ด้วยกัน กำหนดขึ้นเพื่อการนำมาใช้ในการพัฒนาหลักสูตร ทฤษฎีหลักสูตรจึงเป็นการพิจารณานำเอาพัฒนาการของมนุษย์นำเข้ามาใช้ เป็นการจัดและแยกประเภทของเหตุการณ์ต่างๆ และโยงความสัมพันธ์กับเหตุการณ์นั้นนำเอามาใช้ และพิจารณาโครงสร้างและเนื้อหาวิชาที่เหมาะสม นำมาบรรจุไว้ในหลักสูตรด้วยการคำนึงถึงความสอดคล้องตามสภาพการณ์ต่างๆ ทั้งในส่วนของผู้เรียนและในส่วนของสังคม การนำทฤษฎีหลักสูตรไปใช้จะประกอบด้วยการจัดประเภท การวางแผนการประเมินค่า และการปฏิบัติ

องค์ประกอบของหลักสูตร

องค์ประกอบของหลักสูตรหลักสูตรใด ๆ ต้องมีการวางแผนโดยคำนึงถึงการสร้างรูปแบบให้เป็นระบบและข้อจำกัดต่าง ๆ ในการดำเนินการภายในระบบนั้น ๆ ซึ่งต้องประกอบด้วย1. วัตถุประสงค์ ( Purpose ) เป็นข้อความหรือสมมุติฐานที่แสดงถึงจุดมุ่งหมายในการสอนของผู้สอนซึ่งควรจะสอดคล้องกับความมุ่งหมายทางการศึกษาระดับชาติ2. เนื้อหา ( Content ) เป็นข้อความที่แสดงถึงเนื้อหาวิชาที่นักเรียนจะต้องเรียนรู้และได้รับประสบการณ์รวมถึงทางเลือกให้ผู้เรียนได้เลือกเรียนวิชาที่ตรงกับความถนัดและความสนใจของเขา3. วิธีการ ( Method ) เป็นข้อความที่แสดงถึงวิธีการต่าง ๆ ที่จะนำมาใช้พิจารณาดำเนินการจัดการเรียนการสอนให้บรรลุวัตถุประสงค์ที่ตั้งไว้ในข้อ 1 ให้ได้มากที่สุด4. การประเมิน ( Assessment ) เป็นข้อความที่แสดงถึงเกณฑ์และวิธีการต่าง ๆ ที่จะใช้ในการประเมินรายวิชาและผลงานของนักเรียนองค์ประกอบดังกล่าวเมื่อเปรียบเทียบหลักสูตรมัธยมศึกษาตอนต้น พุทธศักราช 2521 ( ฉบับปรับปรุง พ.ศ. 2533 ) และหลักสูตรมัธยมศึกษาตอนปลายพุทธศักราช 2524 ( ฉบับปรับปรุง พ.ศ. 2533 ) จะมีลักษณะไม่แตกต่างกันกล่าวคือ ในส่วนที่เป็นวัตถุประสงค์ จะเป็นหลักการและจุดหมาย เนื้อหา ก็คือโครงสร้างของกลุ่มวิชาต่าง ๆ วิธีการ คือ แนวดำเนินการและการประเมิน คือ หลักเกณฑ์การใช้หลักสูตร ซึ่งประกอบด้วย เวลาเรียน หน่วยการเรียน วิชาบังคับและวิชาเลือกเสรี การประเมินผลการเรียน และเกณฑ์การจบหลักสูตรดร. ฉวีวรรณ เศวตมาลย์จากข้อความดังกล่าวสรุปได้ว่าหลักสูตรประกอบด้วย 4 องค์ประกอบ คือ 1. จุดประสงค์ 2. การคัดเลือกเนื้อหาสาระ 3. การจัดเนื้อหาสาระและประสบการณ์ 4. การประเมินผล ซึ่งองค์ประกอบของหลักสูตรเป็นสิ่งกำหนดแนวคิด ระบบ และความสอดคล้องของเอกสารหลักสูตรและการสอน และเป็นส่วนหนึ่งของตัวแบบการพัฒนาหลักสูตรด้วย

ความหมายของหลักสูตร

ความหมายของหลักสูตรคำว่า หลักสูตร หรือภาษาอังกฤษว่า curriculum ได้นำมาใช้มาก่อนคริสตศักราชประมาณ 100 ปี โดยมาจากรากศัพท์ว่า “ currere ” ซึ่งหมายถึง “ the course to run ” และ curriculum หมายถึง a racecourse of subject matter to be mastered ความหมายอื่น ๆ ที่นักการศึกษาหลายท่านได้ให้ไว้มีดังต่อไปนี้- กลุ่มรายวิชาที่จัดไว้อย่างมีระบบหรือลำดับวิชาที่บังคับสำหรับการจบการศึกษาหรือเพื่อรับประกาศนียบัตรในสาขาวิชาหลัก ๆ เช่น หลักสูตรสังคมศึกษา หลักสูตรพลศึกษา ( Good, 1973 )- รายการของสิ่งของต่าง ๆ ซึ่งผู้เรียนและเยาวชนจะต้องทำและประสบโดยการพัฒนาความสามารถเพื่อจะทำสิ่งต่าง ๆ ให้ได้ดีและเหมาะสมสำหรับการดำรงชีวิตในวัยผู้ใหญ่ ( Bobbitt, 1981 )- ประสบการณ์ทุกชนิดที่ผู้เรียนได้รับภายใต้การแนะแนวของครู ( Coswell & Campbell, 1985 )- ลำดับของประสบการณ์ซึ่งจัดขึ้นภายในโรงเรียนเพื่อกำหนดจุดประสงค์ในการอบรม ผู้เรียนและเยาวชนให้ทำในสิ่งที่ถูกต้อง ( Smith, Stanley and Shores, 1957 )- ประมวลวิชาและกิจกรรมต่าง ๆ ของนักเรียนภายใต้การควบคุมของโรงเรียน ( Saylop & Alexander, 1966 )- การตัดสินใจก่อนที่จะดำเนินการเรียนการสอน ซึ่งจะเกี่ยวกับการจัดลำดับเนื้อหาวิชา การเลือกเนื้อหาที่เหมาะสมสำหรับการนำมาใช้สอน และการเลือกวัสดุอุปกรณ์ตลอดจนกฎเกณฑ์ในการจัดกลุ่มเพื่อให้การสอนเป็นไปอย่างได้ผลมากที่สุด ( Schubert 1986 )นอกจากนี้ยังมีความหมายสั้น ๆ เช่น- สิ่งที่สอนกันในโรงเรียน- วิชากลุ่มหนึ่ง- เนื้อหาสาระ- โปรแกรมการศึกษา- สื่อการเรียนการสอนชุดหนึ่ง- ลำดับของรายวิชาต่าง ๆ- จุดหมายเชิงปฏิบัติชุดหนึ่ง- รายวิชาที่ต้องศึกษา- ทุกสิ่งทุกอย่างที่ต้องเกิดขึ้นภายในโรงเรียน รวมทั้งกิจกรรมพิเศษของชั้น การแนะแนว และความสัมพันธ์ระหว่างบุคคล- สิ่งที่สอนกันทั้งในและนอกโรงเรียนซึ่งจัดทำโดยโรงเรียน- ชุดของประสบการณ์ที่นำไปปฏิบัติโดยผู้เรียนในโรงเรียน- สิ่งที่ผู้เรียนแต่ละคนมีประสบการณ์อันเป็นผลมาจากการไปโรงเรียนกล่าวโดยสรุป หลักสูตรในความหมายเดิม จะหมายถึง รายวิชาต่าง ๆ ที่นักเรียนจะต้องเรียน ส่วนความหมายใหม่จะหมายถึง มวลประสบการณ์ทั้งหมดที่นักเรียนจะได้รับภายใต้คำแนะนำและความรับผิดชอบของโรงเรียนดร. ฉวีวรรณ เศวตมาลย์จากข้อความดังกล่าวสรุปได้ว่าคำว่า หลักสูตร หรือเรียกตามภาษาอังกฤษว่า curriculum โดยมาจากรากศัพท์ว่า “ currere ” ซึ่งหลักสูตรแบ่งเป็น 2 ระดับ ได้แก่ ระดับแรกหลักสูตรหมายถึง แนวทางการจัดการศึกษาของชาติเพื่อพัฒนาผู้เรียนให้มีความรู้ความสามารถและคุณลักษณะตามที่สังคมประเทศชาติต้องการ ซึ่งเป็นไปตามปรัชญา ค่านิยมของคนในชาติ และนโยบายของประเทศ และระดับสุดท้ายคือหลักสูตร หมายถึง แนวทางของโรงเรียนที่จะจัดการศึกษาและบริหารการศึกษาเพื่อความเจริญงอกงามของนักเรียนทุกด้าน จัดทำขึ้นเพื่อให้เหมาะสมกับผู้เรียนและท้องถิ่นประกอบด้วยจุดมุ่งหมายของการเรียนรู้ เนื้อหาสาระและกิจกรรมประสบการณ์ที่สอดคล้องกับปัญหาและความต้องการของผู้เรียนและท้องถิ่น และมีความสำคัญคือ เป็นแนวทางที่ครูจะต้องยึดถือในการจัดการเรียนการสอน

การวัดผลและประเมินผล

การวัดผลและประเมินผล
ความหมายของการวัดผล การทดสอบ และการประเมินผล
การวัดผล(Measurement) หมายถึง กระบวนการหาปริมาณ หรือจำนวนของสิ่งต่าง ๆ โดยใช้เครื่องมืออย่างใดอย่างหนึ่ง ผลจากการวัดจะออกมาเป็นตัวเลขหรือสัญลักษณ์
เช่น นายแดงสูง 180 ซม. (เครื่องมือ คือ ที่วัดส่วนสูง)
วัตถุชิ้นนี้หนัก 2 ก.ก (เครื่องมือ คือ เครื่องชั่ง)
การทดสอบการศึกษา หมายถึง กระบวนการวัดผลอย่างหนึ่งที่กระทำอย่างมีระบบเพื่อใช้ในการเปรียบเทียบความสามารถของบุคคล โดยใช้ข้อสอบหรือคำถามไปกระตุ้นให้สมองแสดงพฤติกรรมอย่างใดอย่างหนึ่งออกมา
การประเมินผล (Evaluation) หมายถึง การตัดสิน หรือวินิจฉัยสิ่งต่าง ๆ ที่ได้จากการวัดผล
เช่น ผลจากการวัดความสูงของนายแดงได้ 180 ซม. ก็อาจประเมินว่าเป็นคนที่สูงมาก
ผลจากการชั่งน้ำหนักของวัตถุชิ้นหนึ่งได้ 2 กก. ก็อาจจะประเมินว่าหนัก - เบา
หรือ เอา- ไม่เอา

บลูม (Bloom) และคณะ ได้แบ่งพฤติกรรมที่จะวัดออกเป็น 3 ลักษณะ
1. วัดพฤติกรรมด้านพุทธิพิสัย ได้แก่ การวัดเกี่ยวกับ ความรู้ ความคิด (วัดด้านสมอง)
2. วัดพฤติกรรมด้านจิตพิสัย ได้แก่ การวัดเกี่ยวกับความรู้สึกนึกคิด (วัดด้านจิตใจ)
3. วัดพฤติกรรมด้านทักษะพิสัย ได้แก่ การวัดเกี่ยวกับการใช้กล้ามเนื้อ และประสาทสัมผัสส่วนต่าง ๆ ของร่างกาย (วัดด้านการปฏิบัติ)
จุดมุ่งหมายของการวัดผลการศึกษา
1. วัดผลเพื่อและพัฒนาสมรรถภาพของนักเรียน หมายถึง การวัดผลเพื่อดูว่านักเรียนบกพร่องหรือไม่เข้าใจในเรื่องใดอย่างไร แล้วครูพยายามอบรมสั่งสอนให้นักเรียนเกิดการเรียนรู้และมีความเจริญงอกงามตามศักยภาพของนักเรียน
2. วัดผลเพื่อวินิจฉัย หมายถึง การวัดผลเพื่อค้นหาจุดบกพร่องของนักเรียนที่มีปัญหาว่า ยังไม่เกิดการเรียนรู้ตรงจุดใด เพื่อหาทางช่วยเหลือ
3. วัดผลเพื่อจัดอันดับหรือจัดตำแหน่ง หมายถึง การวัดผลเพื่อจัดอันดับความสามารถของนักเรียนในกลุ่มเดียวกันว่าใครเก่งกว่า ใครควรได้อันที่ 1 2 3
4. วัดผลเพื่อเปรียบเทียบหรือเพื่อทราบพัฒนาการของนักเรียน หมายถึง การวัดผลเพื่อเปรียบเทียบความสามารถของนักเรียนเอง เช่น การทดสอบก่อนเรียน และหลังเรียนแล้วนำผลมาเปรียบเทียบกัน
5. วัดผลเพื่อพยากรณ์ หมายถึง การวัดเพื่อนำผลที่ได้ไปคาดคะเนหรือทำนายเหตุการณ์ในอนาคต
6. วัดผลเพื่อประเมินผล หมายถึง การวัดเพื่อนำผลที่ได้มาตัดสิน หรือสรุปคุณภาพของการจัดการศึกษาว่ามีประสิทธิภาพสูงหรือต่ำ ควรปรับปรุงแก้ไขอย่างไร

มาตรการวัด
1. มาตรานามบัญญัติ เป็นมาตรการวัดที่ใช้กับข้อมูลเป็นเพียงการเรียกชื่อ หรือจำแนกชนิดหรือสัญลักษณ์กับสิ่งต่าง ๆ ไม่สามารถบอกปริมาณมากน้อยได้ แสดงให้เห็นเพียงความแตกต่างของสิ่งต่าง ๆ เช่นการจำแนกคนเป็นเพศหญิง-ชาย หมายเลขโทรศัพท์ ทะเบียนรถ
2. มาตราเรียงอันดับ สามารถนำข้อมูลมาเปรียบเทียบกันได้ หรือเป็นการจัดอันดับข้อมูลได้ว่ามาก - น้อย สูง-ต่ำดี-ชั่ว
3. มาตราอันตรภาค สามารถบอกความห่างระหว่างสองตำแหน่งได้ เช่น การวัดอุณหภูมิ หรือเซลเซียส
4. มาตราสัดส่วน เป็นมาตรการวัดที่มีลักษณะสมบูรณ์ทุกอย่าง มีศูนย์แท้ ซึ่งแปลว่าไม่มีอะไร หรือเริ่มต้นจาก 0เช่น ความสูง 0 นิ้ว ก็แปลว่าไม่มีความสูง หรือน้ำหนัก 0 กิโลกรัม ก็เท่ากับไม่มีน้ำหนัก

หลักการวัดผลการศึกษา
1. ต้องวัดให้ตรงกับจุดมุ่งหมายของการเรียนการสอน คือ การวัดผลจะเป็นสิ่งตรวจสอบผลจากการสอนของครูว่า นักเรียนเกิดพฤติกรรมตามที่ระบุไว้ในจุดมุ่งหมายการสอนมากน้อยเพียงใด
2. เลือกใช้เครื่องมือวัดที่ดีและเหมาะสม การวัดผลครูต้องพยายามเลือกใช้เครื่องมือวัดที่มีคุณภาพ ใช้เครื่องมือวัดหลาย ๆ อย่าง เพื่อช่วยให้การวัดถูกต้องสมบูรณ์
3. ระวังความคลาดเคลื่อนหรือความผิดพลาดของการวัด เมื่อจะใช้เครื่องมือชนิดใด ต้องระวังความบกพร่องของเครื่องมือหรือวิธีการวัดของครู
4. ประเมินผลการวัดให้ถูกต้อง เช่น คะแนนที่เกิดจาการสอนครูต้องแปลผลให้ถูกต้องสมเหตุสมผลและมีความยุติธรรม
5. ใช้ผลการวัดให้คุ้มค่า จุดประสงค์สำคัญของการวัดก็คือ เพื่อค้นและพัฒนาสมรรถภาพของนักเรียน ต้องพยายามค้นหาผู้เรียนแต่ละคนว่า เด่น-ด้อยในเรื่องใด และหาแนวทางปรับปรุงแก้ไขแต่ละคนให้ดีขึ้น

สื่อการสอนคณิตศาสตร์

สื่อการสอนคณิตศาสตร์

สื่อการสอนคณิตศาสตร์แบ่งได้เป็น 3 ประเภท คือ
1. สื่อการสอนประเภทวัสดุ สื่อการสอนคณิตศาสตร์ประเภทวัสดุแบ่งได้เป็น 2 พวก
1.1 วัสดุที่ใช้ประกอบกิจกรรมการเรียนการสอน เช่น กระดาษที่นำมาใช้ในกิจกรรมตัดกระดาษเพื่อหาพื้นที่ ของรูปทรง หาพื้นที่ผิวของกรอบ กิจกรรมพับกระดาษให้เป็นรูปทรงต่างๆ ฟิล์มเอ๊กซเรย์ที่ใช้แล้ว เพื่อใช้ในการสร้างรูปทรงสามมิติ เช่น ลูกบาศก์ ปิระมิด ปริซึม และรูปภาคตัดกรวย เชือก ถ่านไฟฉายและหลอดไฟ หลอดกาแฟ หรือลวดเพื่อใช้ในการสร้างรูปทรงสามมิติต่างๆ เป็นต้น วัสดุเหล่านี้เป็นวัสดุที่หาได้ง่ายและราคาไม่แพง โดยเฉพาะอย่างยิ่งฟิล์มเอ๊กซ์เรย์ที่ใช้แล้วสามารถนำมาประดิษฐ์เป็นอุปกรณ์ต่างๆ ได้มากมาย และสามารถขอได้จากโรงพยาบาลทั่วไป
1.2 วัสดุจำพวกสิ่งตีพิมพ์ เช่น แผนภูมิ กราฟ บัตรงาน เอกสาร ที่พิมพ์เกี่ยวกับแบบฝึกหัด
ปัญหาโจทย์หรือข้อสอบรวมทั้งตำราหนังสือแบบเรียนและแบบฝึกปฏิบัติคณิตศาสตร์ หนังสือเสริมทักษะ

2. สื่อการสอนประเภทอุปกรณ์
อุปกรณ์บวกลบคูณหารแบบเนเปียร์ แผ่นป้ายสำลี กระเป๋าผนัง กระดานตะปู นาฬิกาจำลอง กระดานเศษส่วน กระดานเส้นจำนวน ลูกบาศก์ และกล่องหาปริมาตรปริซึมต่างๆ ปิระมิดแบบต่างๆ ปริซึมฐานหลายเหลี่ยมบรรจุใน ปิระมิด เครื่องมือคิดเลขฐานสอง เครื่องทดลองความน่าจะเป็น เครื่องมือสอนทฤษฎีปิธากอรัส แบบต่างๆ เครื่องมือ วัดมุม วงกลมหนึ่งหน่วย ภาคตัดกรวย ชุดแผนภูมิประมาณพื้นที่ของวงกลม ชุดแผนภูมินำเสนอข้อมูล ชุดแผนประมาณความยาวของเส้นรอบวงของวงกลม อุปกรณ์ชุดประมาณค่า อุปกรณ์แสดงปริมาตรของวงกลมโดยอาศัยความยาวของเชือก อุปกรณ์ชุดแยกตัวประกอบที่อยู่ในรูป ( ax + by )2 และ ( ax + by )3 โมโนกราฟ ภาพชุดของ นักคณิตศาสตร์เป็นต้น
อุปกรณ์เหล่านี้ส่วนหนึ่งใช้สาธิตให้ผู้เรียนได้เข้าใจถึงข้อเท็จจริง ส่วนหนึ่งเป็นเครื่องมือทดลองปฏิบัติ อุปกรณ์อีกพวกหนึ่งในกลุ่มนี้เป็นพวกที่ใช้ประกอบในการทดลองหรือการปฏิบัติทางคณิตศาสตร์ หรือใช้ในห้องปฏิบัติการทางคณิตศาสตร์ เช่น กรรไกร ที่ตัดกระดาษ ไม้ฉาก วงเวียน เครื่องมือเกี่ยวกับการเขียนตัวอักษร อุปกรณ์เหล่านี้เป็นสิ่งที่จำเป็นที่จะต้องมีไว้ในห้องปฏิบัติการคณิตศาสตร์

3. สื่อการสอนประเภทวิธีการ
สื่อการสอนประเภทวิธีการ ได้แก่ วิธีการที่จะทำให้ผู้เรียนเกิดการเรียนรู้มโนทัศน์ต่างๆ ในวิชาคณิตศาสตร์ สื่อการสอนประเภทวิธีการซึ่งนำมาใช้ ได้แก่ วิธีการอุปมาน ( Inducton ) วิธีการอนุมาน ( Deduction ) และวิธีจัดกิจกรรมเสริมประสบการณ์
วิธีการอุปมาน ( Inducton )
วิธีการอุปมาน เป็นวิธีการหาข้อสรุปโดยการพิจารณาจากกรณีเฉพาะหรือข้อเท็จจริงที่เกิดขึ้นซ้ำๆ กัน ภายใต้สภาพการณ์หรือเงื่อนไขอันหนึ่งออกมาเป็นผลสรุปทั่วไป ธรรมชาติของมนุษย์นั้น เมื่อได้สังเกตปรากฏการณ์อย่างใดอย่างหนึ่งที่เกิดขึ้นซ้ำ ๆ กันหลายครั้งเขาจะสรุปออกมาเป็นผลสรุป อย่างใดอย่างหนึ่งเสมอ ตัวอย่างเช่น เท่าที่พบเห็นมาดวงอาทิตย์ขึ้นทางทิศตะวันออก เขาจะสรุปว่าดวงอาทิตย์ขึ้นทางทิศตะวันออกเสมอ หรือเมื่อเห็นท้องฟ้ามืดคลุ้มด้วยเมฆ เขาจะถือร่มออกไปด้วย เพราะเท่าที่ผ่านมาในสภาพการณ์อย่างนั้นฝนมักจะตก เขาจึงสรุปว่าครั้งนี้ฝนคงตกด้วย หรือแม้แต่เด็กเล็ก ๆ เมื่อเห็นพ่อแม่แต่งตัวก็มักจะร้องไห้ เพราะเท่าที่เขาประสบมาสภาพการณ์อย่างนั้นจะเป็นจุดเริ่มที่พ่อแม่จากเขาไป หรือการที่นักสถิติได้รวบรวมข้อมูลต่าง ๆ ไว้ แล้วสรุปผลออกมาว่า จากข้อมูลเหล่านั้นสามารถบอกอะไรได้บ้างเหล่านี้เป็นต้น วิธีการให้ได้มาซึ่งผลสรุปในลักษณะนี้เรียกว่าวิธีอุปมาน นักคณิตศาสตร์ใช้วิธีอุปมานเป็นวิธีศึกษาค้นคว้าวิธีหนึ่งตั้งแต่สมัยโบราณมาแล้วในด้านการเรียนการสอนโดยวิธีอุปมานนั้น เป็นการให้ผู้เรียนได้มีประสบการณ์จากข้อมูลเฉพาะ หรือตัวอย่าง ที่มีลักษณะเฉพาะชุดหนึ่ง แล้วให้เขาสามารถสรุปออกมาเป็นข้อสรุปทั่วไปได้ ตัวอย่างเช่น เมื่อเขาวัดมุมภายในของสามเหลี่ยมแล้วนำมารวมกันทั้งสามมุมจะได้ผลรวมเท่ากับ 180 องศา จะเป็นรูปสามเหลี่ยมรูปใด ๆ ก็ตาม มีขนาดด้านเท่าใดก็ตาม ผลรวมของมุมทั้งสามก็ยังคงเท่ากับ 180 องศาอยู่ เขาก็จะสรุปว่ามุมภายในของสามเหลี่ยมรวมกันเท่ากับ 180 องศา เป็นต้น
วิธีการอนุมาน ( Deduction )
วิธีอนุมาน เป็นวิธีการหาข้อสรุปโดยการพิจารณาจากกรณีทั่วไป หรือข้อมูลทั่วไปออกมาเป็นกรณีเฉพาะ เป็นการสรุปจากเหตุชุดหนึ่งออกมาเป็นผล ซึ่งข้อสรุปนั้นจะต้องเป็นการสรุปที่สมเหตุสมผล ( Valid ) หรือเหตุบังคับให้เกิดผลในวิชาคณิตศาสตร์ เหตุที่นำมาสรุปนั้น ได้แก่พวก อนิยาม นิยาม กติกา หรือสัจพจน์รวมถึงทฤษฎีต่าง ๆ ที่รู้มาแล้ว หรือเงื่อนไขต่าง ๆ ที่กำหนดให้ออกมาเป็นผลสรุป ตัวอย่างเช่น
เหตุ 1) a > b
2) b > c
ผล a > c
สำหรับคณิตศาสตร์นั้นเป็นศาสตร์ที่เกี่ยวข้องอยู่กับวิธีอนุมาน ( deductive science ) ซึ่งเป็นเรื่องของการให้เหตุผล การสรุปผลในแบบอนุมานเท่านั้น แต่ในการเรียนการสอนคณิตศาสตร์ควรที่จะใช้วิธีอุปมานให้มาก คือให้ผู้เรียนได้คลุกคลี ได้มีประสบการณ์ด้านการสังเกต และการสรุปผลด้วยตนเอง
กิจกรรมเสริมประสบการณ์เรียนรู้วิชาคณิตศาสตร์
กิจกรรมเสริมประสบการณ์การเรียนรู้วิชาคณิตศาสตร์ เป็นกิจกรรมให้ผู้เรียนได้คิดได้ทำ ได้มีประสบการณ์ เพื่อฝึกการคิดการให้เหตุผล ฝึกการสร้าง การประดิษฐ์ โดยอาศัยหลักเกณฑ์ทางคณิตศาสตร์และเพื่อการสันทนาการ กิจกรรมประเภทนี้มีมากมาย ตัวอย่างเช่น เกมและปริศนาในทางคณิตศาสตร์ กิจกรรมการพับกระดาษ กิจกรรมสร้างรูปโดยใช้หลักการสมมาตร กิจกรรมการสร้างรูปทรงโดยใช้หลอดกาแฟ หรือลวด เป็นต้น สำหรับเกมนั้นมีมากมายทั้งที่ขายในท้องตลาด ซึ่งเป็นพวกชุดเกมต่าง ๆ และเกมที่มีในหนังสือรวมเกมต่าง ๆการจัดกิจกรรมเสริมประสบการณ์การเรียนรู้วิชาคณิตศาสตร์ อาจจะจัดเป็นโครงการเช่น การจัดนิทรรศการทางคณิตศาสตร์ การศึกษานอกสถานที่ การแข่งขันตอบปัญหาทางคณิตศาสตร์ การจัดตั้งชมรมหรือชุมนุมคณิตศาสตร์ การจัดทำวารสารคณิตศาสตร์ เป็นต้น
จากข้อมูลดังกล่าวสรุปได้ว่า

สื่อการสอนคณิตศาสตร์แบ่งได้เป็น 3 ประเภท ดังนี้

1. สื่อการสอนประเภทวัสดุ แบ่งได้เป็น 2 พวก

1. วัสดุที่ใช้ประกอบกิจกรรมการเรียนการสอน เป็นวัสดุที่นำมาทำเป็นรูปทรงต่าง ๆ เพื่อใช้ประกอบการเรียนการสอน เช่น กระดาษที่นำมาใช้ในกิจกรรมตัดกระดาษเพื่อหาพื้นที่ กิจกรรมพับกระดาษให้เป็นรูปทรงต่างๆ
2. วัสดุจำพวกสิ่งตีพิมพ์ เช่น เอกสารที่พิมพ์เกี่ยวกับแบบฝึกหัด ปัญหาโจทย์หรือข้อสอบรวมทั้งตำราหนังสือแบบเรียนและแบบฝึกปฏิบัติคณิตศาสตร์ หนังสือเสริมทักษะ2. สื่อการสอนประเภทอุปกรณ์
เป็นอุปกรณ์ที่ครูจะต้องมีสำหรับการสอนทุกครั้ง เพราะจะสามารถช่วยให้นักเรียนมองเห็นภาพได้ชัดเจน เกิดความเข้าใจได้ง่ายขึ้น ตัวอย่างเช่น กระดานตะปู นาฬิกาจำลอง กระดานเศษส่วน กระดานเส้นจำนวน ลูกบาศก์ และกล่องหาปริมาตรปริซึมต่างๆ ปิระมิดแบบต่างๆ ปริซึมฐานหลายเหลี่ยมบรรจุในปิระมิด
3. สื่อการสอนประเภทวิธีการ
สื่อการสอนประเภทวิธีการ คือ วิธีการที่จะทำให้ผู้เรียนเกิดการเรียนรู้มโนทัศน์ต่างๆ ในวิชาคณิตศาสตร์ สื่อการสอนประเภทวิธีการซึ่งนำมาใช้ มีดังนี้
วิธีการอุปมาน ( Inducton )
วิธีการอุปมาน เป็นวิธีการหาข้อสรุปโดยการพิจารณาจากกรณีเฉพาะหรือข้อเท็จจริงที่เกิดขึ้นซ้ำๆ กัน ภายใต้เงื่อนไขอันหนึ่งออกมาเป็นผลสรุปทั่วไป ตัวอย่างเช่น เมื่อเห็นท้องฟ้ามืดคลุ้มด้วยเมฆ เราจะถือร่มออกไปด้วย เพราะเท่าที่ผ่านมาในสภาพการณ์อย่างนั้นฝนมักจะตก จึงสรุปว่าครั้งนี้ฝนคงตกด้วย ในด้านการเรียนการสอนโดยวิธีอุปมาน จึงเป็นการให้ผู้เรียนได้มีประสบการณ์จากข้อมูลเฉพาะ แล้วสามารถสรุปออกมาเป็นข้อสรุปทั่วไปได้
วิธีการอนุมาน ( Deduction )
วิธีอนุมาน เป็นวิธีการหาข้อสรุปโดยการพิจารณาจากกรณีทั่วไป หรือข้อมูลทั่วไปออกมาเป็นกรณีเฉพาะ เป็นการสรุปจากเหตุชุดหนึ่งออกมาเป็นผล ซึ่งข้อสรุปนั้นจะต้องเป็นการสรุปที่สมเหตุสมผล ( Valid ) หรือเหตุบังคับให้เกิดผลในวิชาคณิตศาสตร์ เหตุที่นำมาสรุปนั้น ได้แก่พวก อนิยาม นิยาม กติกา หรือสัจพจน์รวมถึงทฤษฎีต่าง ๆในการเรียนการสอนคณิตศาสตร์ควรที่จะใช้วิธีอุปมานให้มาก คือให้ผู้เรียนได้คลุกคลี ได้มีประสบการณ์ด้านการสังเกต และการสรุปผลด้วยตนเอง
กิจกรรมเสริมประสบการณ์เรียนรู้วิชาคณิตศาสตร์
กิจกรรมเสริมประสบการณ์การเรียนรู้วิชาคณิตศาสตร์ เป็นกิจกรรมให้ผู้เรียนได้คิดได้ทำ ได้มีประสบการณ์ เพื่อฝึกการคิดการให้เหตุผล ฝึกการสร้าง การประดิษฐ์ โดยอาศัยหลักเกณฑ์ทางคณิตศาสตร์ กิจกรรมอาจจะจัดเป็นรูปแบบของโครงการต่าง ๆ เช่น การจัดนิทรรศการทางคณิตศาสตร์ การแข่งขั้นตอบปัญหาทางคณิตศาสตร์ หรือการจัดกิจกรรมเกี่ยวกับการเล่นเกมทางคณิตศาสตร์ ซึ่งถือว่าเป็นกิจกรรมที่นักเรียนชอบและช่วยดึงดูดความสนใจให้นักเรียนมาร่วมทำกิจกรรมเป็นอย่างมาก กิจกรรมเหล่านี้จะฝึกให้นักเรียนมีความคิดสร้างสรรค์ มีมนุษยสัมพันธ์กับผู้อื่นได้ดี มีการฝึกการแก้ปัญหาหลาย ๆ แนวทาง มีการนำความรู้ที่มีอยู่มาใช้ และทำให้ได้รับประสบการณ์และความรู้ใหม่ ๆ ที่เป็นประโยชน์แก่ตัวนักเรียนเอง

วันเสาร์ที่ 22 สิงหาคม พ.ศ. 2552

หลักการสอนคณิตศาสตร์

หลักการสอนคณิตศาสตร์

ในการจัดการเรียนการสอนคณิตศาสตร์เพื่อให้นักเรียนประสบผลสำเร็จได้นั้น ไม่เพียงแต่ครูผู้สอนจะมีความความรู้ ความเข้าใจเกี่ยวกับเนื้อหาและวิธีสอนอย่างดียิ่งเท่านั้น ครูผู้สอนจะต้องมีความรู้เกี่ยวกับหลักการสอนเป็นอย่างดีด้วย เพื่อจะช่วยให้การสอนมีประสิทธิภาพยิ่งขึ้น มีนักการศึกษาได้ให้หลักการหรือแนวทางในการสอนคณิตศาสตร์หลายทรรศนะด้วยกัน ดังนี้
บุญทัน อยู่ชมบุญ (2529 : 24-25) ได้กล่าวถึงหลักการสอนคณิตศาสตร์ ดังนี้
1. สอนโดยคำนึงถึงความพร้อมของนักเรียน คือ พร้อมในด้านร่างกาย อารมณ์ สติ
ปัญญา และพร้อมในแง่ความรู้พื้นฐานที่จะมาต่อเนื่องกับความรู้ใหม่ โดยครูต้องมีการทบทวนความรู้เดิมก่อน เพื่อให้ประสบการณ์เดิมกับประสบการณ์ใหม่ต่อเนื่องกัน จะช่วยให้นักเรียนเกิดความเข้าใจและมองเห็นความสัมพันธ์ของสิ่งที่เรียนได้ดี
2. การจัดกิจกรรมการสอนต้องให้เหมาะสมกับวัย ความต้องการ ความสนใจ และ
ความสามารถของนักเรียนเพื่อมิให้เกิดปัญหาตามมาภายหลัง
3. ควรคำนึงถึงความแตกต่างระหว่างบุคคล โดยเฉพาะวิชาคณิตศาสตร์เป็นวิชาที่ครู
จำเป็นต้องคำนึงถึงให้มากกว่าวิชาอื่น ๆ ในแง่ความสามารถทางสติปัญญา
4. ควรเตรียมความพร้อมทางคณิตศาสตร์ ให้นักเรียนเป็นรายบุคคล หรือรายกลุ่มก่อน
เพื่อเป็นพื้นฐานในการเรียนรู้ จะช่วยให้นักเรียนมีความพร้อมตามวัย และความสามารถของแต่ละคน
5. วิชาคณิตศาสตร์เป็นวิชาที่มีระบบที่จะต้องเรียนไปตามลำดับขั้น การสอนเพื่อสร้าง
ความคิด ความเข้าใจ ในระยะเริ่มแรกจะต้องเป็นประสบการณ์ที่ง่าย ๆ ไม่ซับซ้อน สิ่งที่ไม่เกี่ยวข้องและทำให้เกิดความสับสน จะต้องไม่นำเข้ามาในกระบวนการเรียนการสอน การสอนจะเป็นไปตามลำดับขั้นตอนที่วางไว้
6. การสอนแต่ละครั้งจะต้องมีจุดประสงค์ที่แน่นอนว่า จัดกิจกรรมเพื่อสนองจุดประสงค์
อะไร
7. เวลาที่ใช้สอน ควรใช้ระยะเวลาพอสมควรไม่นานจนเกินไป
8. ครูควรจัดกิจกรรมการเรียนการสอนที่มีการยืดหยุ่นให้นักเรียนได้มีโอกาสเลือกทำ
กิจกรรมได้ตามความพอใจ ตามความถนัดของตน และให้อิสระในการทำงานแก่นักเรียน สิ่งสำคัญประการหนึ่ง คือ การปลูกฝังเจตคติที่ดีแก่นักเรียนในการเรียนคณิตศาสตร์ ถ้าเกิดมีขึ้น จะช่วยให้ นักเรียนพอใจในการเรียนวิชานี้ เห็นประโยชน์และคุณค่าย่อมจะสนใจมากขึ้น
9. การสอนที่ดีควรเปิดโอกาสให้นักเรียนมีการวางแผนร่วมกับครู เพราะจะช่วยให้ครู
เกิดความมั่นใจในการสอน และเป็นไปตามความพอใจของนักเรียน
10. การสอนคณิตศาสตร์ควรให้นักเรียนมีโอกาสทำงานร่วมกันหรือมีส่วนร่วมเป็นการ
ค้นคว้า สรุปกฎเกณฑ์ต่าง ๆ ด้วยตนเองร่วมกับเพื่อน ๆ
11. การจัดกิจกรรมการเรียนการสอนควรสนุกสนานบันเทิงไปพร้อมกับการเรียนรู้ด้วย
จึงจะสร้างบรรยากาศที่น่าติดตามให้แก่นักเรียน
12. นักเรียนจะเรียนได้ดีเมื่อเริ่มเรียนโดยครูใช้ของจริง อุปกรณ์ ซึ่งเป็นรูปธรรม นำไปสู่
นามธรรม ตามลำดับ จะช่วยให้นักเรียนเรียนรู้ด้วยความเข้าใจ มิใช่จำดังเช่นการสอนในอดีตที่ผ่านมา ทำให้เห็นว่าวิชาคณิตศาสตร์เป็นวิชาที่ง่ายต่อการเรียนรู้
13. การประเมินผลการเรียนการสอนเป็นกระบวนการต่อเนื่องและเป็นส่วนหนึ่งของ
การเรียนการสอน ครูอาจใช้วิธีการสังเกต การตรวจแบบฝึกหัด การสอบถามเป็นเครื่องมือในการ วัดผล จะช่วยให้ครูทราบข้อบกพร่องของนักเรียนและการสอนของตน
14. ไม่ควรจำกัดวิธีคำนวณหาคำตอบของนักเรียน แต่ควรแนะนำวิธีคิดที่รวดเร็ว และ
แม่นยำภายหลัง
15. ฝึกให้นักเรียนรู้จักตรวจเช็คคำตอบด้วยตัวเอง
ยุพิน พิพิธกุล (2530 : 49-50) ได้กล่าวถึงหลักการสอนคณิตศาสตร์ไว้ดังนี้
1. สอนจากเรื่องง่ายไปสู่เรื่องยาก
2. เปลี่ยนจากรูปธรรมไปสู่นามธรรมในเรื่องที่สามารถใช้สื่อการเรียนการสอนรูปธรรม
ประกอบได้
3. สอนให้สัมพันธ์ความคิดเมื่อครูจะทบทวนเรื่องใดก็ควรทบทวนให้หมด การรวบรวม
เรื่องที่เหมือนกันเข้าเป็นหมวดหมู่จะช่วยให้นักเรียนเข้าใจและจำได้แม่นยำยิ่งขึ้น
4. เปลี่ยนวิธีการสอนไม่ซ้ำซากเบื่อหน่าย ผู้สอนควรจะสอนให้สนุกสนานและน่าสนใจ
5. ใช้ความสนใจของนักเรียนเป็นจุดเริ่มต้นเป็นแรงดลใจที่จะเรียน ด้วยเหตุนี้ในการสอน
จึงนำไปสู่บทเรียนเร้าใจเสียก่อน
6. สอนให้ผ่านประสาทสัมผัส ผู้สอนอย่าพูดเฉย ๆ โดยไม่ให้เห็นตัวอักษร ไม่เขียน
กระดานดำเพราะการพูดลอย ๆ ไม่เหมาะกับวิชาคณิตศาสตร์
7. ควรจะคำนึงถึงประสบการณ์เดิมและทักษะเดิมที่นักเรียนมีอยู่ กิจกรรมใหม่ควร
จะต่อเนื่องกับกิจกรรมเดิม
8. เรื่องที่สัมพันธ์กันก็ควรจะสอนไปพร้อม ๆ กัน
9. ให้นักเรียนเห็นโครงสร้างไม่ใช่เห็นแต่เนื้อหา
10. ไม่ควรเป็นเรื่องยากเกินไป ผู้สอนบางคนชอบให้โจทย์มาก ๆ เกินหลักสูตร อาจจะ
ทำให้นักเรียนที่เรียนอ่อนท้อถอย การสอนต้องคำนึงหลักสูตรและเนื้อหาที่เพิ่มเติมให้เหมาะสม
11. สอนให้นักเรียนสามารถสรุปความคิดรวบยอดได้
12. ให้นักเรียนลงมือปฏิบัติในสิ่งที่ทำได้
13. ผู้สอนควรจะมีอารมณ์ขันเพื่อช่วยให้บรรยากาศในห้องเรียนน่าเรียนยิ่งขึ้น
14. ผู้สอนควรจะมีความกระตือรือร้นหรือตื่นตัวอยู่เสมอ
15. ผู้สอนควรหมั่นแสวงหาความรู้เพิ่มเติม เพื่อจะนำสิ่งที่แปลกและใหม่มาถ่ายทอดให้
นักเรียน
16. ผู้สอนควรจะเป็นผู้ทีศรัทธาในอาชีพของตน จึงจะทำให้สอนได้ดี
ประสิทธิ์ มิ่งมงคล และศักดา บุญโต (2525 : 36-44) ได้กล่าวถึงหลักการสอนคณิตศาสตร์ไว้ดังนี้
1. การสอนคณิตศาสตร์ให้เหมือนรูปแบบของศิลปะอย่างหนึ่ง การสอนลักษณะนี้เน้นให้
นักเรียนซาบซึ้งและสามารถแสดงออกถึงความสำเร็จในทางคณิตศาสตร์ด้วยภาษาคณิตศาสตร์ที่เหมาะสมและรัดกุม
2. การสอนคณิตศาสตร์ให้เหมือนกับเล่นเกมอย่างหนึ่ง การสอนลักษณะนี้ผู้สอนเน้นให้
นักเรียนรู้จักกฎเกณฑ์ต่าง ๆ คล้ายกับการเล่นเกมแต่ละอย่างจะต้องมีข้อตกลงเบื้องต้นในการปฏิบัติต่าง ๆ
3. การสอนคณิตศาสตร์ให้เหมือนกับเป็นสาขาหนึ่งของวิชาวิทยาศาสตร์ การสอน
ลักษณะนี้ยึดระเบียบทางวิทยาศาสตร์เป็นหลัก โดยมีการตั้งสมมติฐาน ตรวจสอบสมมติฐาน แล้วสรุปเป็นกฎเกณฑ์
4. การสอนคณิตศาสตร์ให้เหมือนกับแนวทางไปสู่เทคโนโลยีต่าง ๆ การสอนลักษณะนี้
เป็นการสอนโดยใช้แผนภูมิสายงาน ซึ่งทำให้นักเรียนสามารถนำไปใช้ประโยชน์ได้อย่างกว้างขวางทั้งในส่วนคณิตศาสตร์ และในส่วนของวิทยาการสาขาต่าง ๆ
จากแนวคิดของนักการศึกษาเกี่ยวกับหลักการสอนคณิตศาสตร์ ดังที่กล่าวมาสรุปได้ว่า การสอนคณิตศาสตร์ ควรเริ่มสอนจากเรื่องง่ายไปสู่เรื่องยาก ควรเชื่อมโยงประสบการณ์เดิมกับประสบการณ์ใหม่เข้าด้วยกัน สอนโดยใช้สื่อที่เป็นรูปธรรมมากกว่านามธรรม เริ่มจากของจริง ไปสู่สัญลักษณ์ การจัดกิจกรรมการเรียนการสอนเน้นให้นักเรียนได้ลงมือปฏิบัติจริง ส่งเสริมให้ นักเรียนคิดคำนวณและแก้ปัญหาด้วยตนเอง แล้วสามารถสรุปความคิดรวบยอดด้วยตนเองได้ และต้องคำนึงถึงความพร้อมของนักเรียนในทุก ๆ ด้านด้วย

จิตวิทยาในการสอน

ทฤษฎีที่เกี่ยวข้องกับการเรียนการสอนคณิตศาสตร์

การพัฒนาการเรียนการสอนคณิตศาสตร์ให้มีประสิทธิภาพนั้น มักมีการใช้ทฤษฎีหลักการที่เกี่ยวข้องกับการเรียนการสอนคณิตศาสตร์เป็นกรอบแนวคิดในการพัฒนาทฤษฎีหลักการเหล่านั้น จึงมีความสำคัญและมีผลต่อการจัดการเรียนรู้ในชั้นเรียนซึ่งมีรายละเอียดดังต่อไปนี้
1. ทฤษฎีพัฒนาการทางสติปัญญาของเพียเจต์
เพียเจต์ (ทิศนา แขมมณี, 2545 : 64) ได้ศึกษาเกี่ยวกับพัฒนาการทางด้านความคิดของเด็กว่ามีขั้นตอนหรือกระบวนการอย่างไร เขาอธิบายว่า การเรียนรู้ของเด็กเป็นไปตามพัฒนาการทางสติปัญญาเขาเชื่อว่าพัฒนาการทางสติปัญญาของมนุษย์พัฒนาขึ้นเป็นลำดับ 4 ขั้น โดยแต่ละขั้นแตกต่างกันตามกันในกลุ่มคน และอายุที่กลุ่มคนเข้าสู่แต่ละขั้นจะแตกต่างกันไปตามลักษณะทางพันธุกรรมและสิ่งแวดล้อม ลำดับขั้นทั้งสี่ของเพียเจต์มีสาระสรุปได้ดังนี้
1.1 พัฒนาการทางสติปัญญาของบุคคลเป็นไปตามวัยต่าง ๆ ตามลำดับขั้น คือ
1.1.1 ขั้นรับรู้ด้วยประสาทสัมผัส เป็นขั้นพัฒนาการในช่วงอายุ 0 – 2 ปี ความคิดของเด็กวัยนี้ขึ้นกับการรับรู้และการกระทำ เด็กยึดตัวเองเป็นศูนย์กลางและยังไม่สามารถเข้าใจความคิดเห็นของผู้อื่น
1.1.2 ขั้นก่อนปฏิบัติการคิด เป็นพัฒนาการในช่วงอายุ 2 – 7 ปี ความคิดของเด็กวัยนี้ยังขึ้นอยู่กับการรับรู้เป็นส่วนใหญ่ยังไม่สามารถใช้เหตุผลอย่างลึกซึ้ง แต่สามารถเรียนรู้และใช้สัญลักษณ์ได้ การใช้ภาษาแบ่งเป็นขั้นย่อย ๆ 2 ขั้น คือ ขั้นก่อนเกิดความคิดรวบยอด เป็นพัฒนาการในช่วงอายุ 2 – 4 ปี และขั้นการคิดด้วยความเข้าใจของตนเอง เป็นพัฒนาการในช่วงอายุ 4 – 7 ปี
1.1.3 ขั้นการคิดแบบรูปธรรม เป็นพัฒนาการในช่วงอายุ 7 – 11 ปี เป็นขั้นที่การคิดของเด็กไม่ขึ้นกับการรับรู้จากรูปร่างเท่านั้น เด็กสามารถสร้างภาพในใจและสามารถคิดย้อนกลับได้ และมีความเข้าใจเกี่ยวกับความสัมพันธ์ของตัวเลขและสิ่งต่าง ๆ ได้มากขึ้น
1.1.4 ขั้นการคิดแบบนามธรรม เป็นขั้นการพัฒนาในช่วงอายุ 11 – 15 ปี เด็กสามารถคิดสิ่งที่เป็นนามธรรมได้ และสามารถคิดตั้งสมมติฐานและใช้กระบวนการทางวิทยาศาสตร์ได้
ทฤษฎีพัฒนาการทางสติปัญญาของเพียเจต์ทั้ง 4 ขั้น มีประโยชน์ต่อการศึกษามาก เนื่องจากกล่าวถึงข้อเท็จจริงว่า วิธีคิด ภาษา ปฏิกิริยาและพฤติกรรมของเด็กแตกต่างจากของผู้ใหญ่ ทั้งในเชิงปริมาณและคุณภาพ ดังนั้น การจัดการศึกษาให้เด็กจึงต้องมีรูปแบบที่แตกต่างจากของผู้ใหญ่ และสิ่งที่มีความหมายมากที่นักการศึกษาได้รับจากงานของเพียเจต์ คือ แนวคิดที่ว่าเด็กที่มีอายุน้อย ๆ จะเรียนได้ดีที่สุดจากกิจกรรมที่ใช้สื่อรูปธรรม (อัมพร ม้าคะนอง, 2546 : 1) หากแนวคิดนี้ถูกนำไปใช้ในห้องเรียน ผู้สอนจะต้องเป็นผู้จัดสิ่งแวดล้อมในการเรียนรู้และแนะนำผู้เรียนมากกว่าเป็นผู้สอนโดยตรง ตามทฤษฎีของเพียเจต์ เมื่อเด็กโตขึ้นและเข้าสู่ลำดับขั้นที่สูงกว่า เด็กจะต้องการการเรียนรู้จากกิจกรรมลดลง เนื่องจากพัฒนาการของสติปัญญาที่ซับซ้อนและทันสมัยขึ้น แต่มิได้หมายความว่าเด็กจะไม่ต้องการทำกิจกรรมเลย การเรียนรู้โดยการทำกิจกรรมยังคงอยู่ในทุกลำดับขั้นของการพัฒนา นอกจากนี้เพียเจต์ยังเน้นว่าปฏิสัมพันธ์ระหว่างผู้เรียนกับผู้เรียนมีบทบาทเป็นอย่างมากต่อการพัฒนาสติปัญญา ทั้งในเชิงปริมาณและคุณภาพ การให้ผู้เรียนได้คิด พูดอภิปราย แลกเปลี่ยนความคิดเห็น และประเมินความคิดของตนเองและผู้อื่นจะช่วยให้ผู้เรียนเข้าใจตนเองและผู้อื่นได้ดีขึ้น เพียเจต์เรียกกระบวนการนี้ว่า การกระจายความคิด ซึ่งเป็นความสามารถของเด็กที่จะต้องได้รับการพัฒนาให้เป็นไปตามลำดับขั้น เพื่อพิจารณาสิ่งต่าง ๆ จากมุมมองของผู้อื่น ซึ่งประเด็นนี้ การศึกษาจะเข้ามามีบทบาทสำคัญในการจัดสภาพแวดล้อมในห้องเรียนเพื่อส่งเสริมความสามารถของการเรียนรู้ของผู้เรียน
1.2 ภาษาและกระบวนการคิดของเด็กแตกต่างจากผู้ใหญ่
1.3 กระบวนการทางสติปัญญามี 3 ลักษณะคือ การซึมซับหรือการดูดซึมเป็นกระบวนการทางสมองในการรับประสบการณ์ เรื่องราวและข้อมูลต่าง ๆ เข้ามาสะสมเก็บไว้เพื่อใช้ประโยชน์ต่อไป การปรับและจัดระบบเป็นกระบวนการทางสมองในการปรับประสบการณ์เดิมและประสบการณ์ใหม่ให้เข้ากันเป็นระบบหรือเครือข่ายทางปัญญาที่ตนสามารถเข้าใจได้เกิดเป็นโครงสร้างทางปัญญาใหม่ขึ้น การเกิดความสมดุลเป็นกระบวนการที่เกิดขึ้นจากขั้นของการปรับ หากการปรับเป็นไปอย่างผสมผสานกลมกลืนก็จะก่อให้เกิดสภาพที่มีความสมดุลขึ้น หากบุคคลไม่สามารถปรับประสบการณ์ใหม่และประสบการณ์เดิมให้เข้ากันได้ก็จะเกิดภาวะความไม่สมดุลขึ้น ซึ่งก่อให้เกิดความขัดแย้งทางปัญญาขึ้นในตัวบุคคล
2. ทฤษฎีการเรียนคณิตศาสตร์ของดีนส์
ดีนส์ เป็นนักคณิตศาสตร์ผู้มีชื่อเสียงเป็นที่รู้จักในประเทศออสเตรเลีย อังกฤษ แคนนาดา และสหรัฐอเมริกา ดีนส์มีความสนใจในทฤษฎีพัฒนาการของเพียเจต์ และได้เสนอแนวคิดว่า การสอนคณิตศาสตร์ควรเน้นให้นักเรียนได้ทำกิจกรรมที่ครูจัดขึ้นให้มากที่สุด ยิ่งกิจกรรมเพิ่มขึ้นเท่าใดประสบการณ์ทางคณิตศาสตร์ก็เพิ่มมากขึ้นเท่านั้น และดีนส์เห็นว่าสิ่งที่มีอิทธิพลต่อการสอนคณิตศาสตร์มีหลายองค์ประกอบ (สมทรง สุวพานิช, 2546) ดังนี้ 1) ลำดับขั้นการสอน เป็นสิ่งที่มีความสำคัญอย่างยิ่งในการสอน 2) การแสดงความคิด ต้องใช้หลายวิธีและหลาย ๆ รูปแบบเพื่อให้นักเรียนเกิดความคิดรวบยอด 3) การทำให้เกิดความคิดได้ จะต้องให้อยู่ในรูปต่อไปนี้ตามลำดับ 4) ความพร้อมทางวุฒิภาวะ สุขภาพ ประสบการณ์เดิม ความสนใจ ความถนัด เวลา เหตุการณ์ สถานที่ บรรยากาศ และสมาธิ 5) การได้มีโอกาสฝึกฝนบ่อย ๆ 6) การเสริมแรงที่เหมาะสมและเพียงพอ ไม่ว่าจะเป็นทางวาจาหรือท่าทาง 7) การรู้จักใช้วิธีการและสื่อการเรียนที่เหมาะสมและคุ้มค่า
แนวคิดของดีนส์ที่เกี่ยวข้องกับการเรียนการสอนคณิตศาสตร์ ซึ่งมีบางส่วนที่คล้ายคลึงกับของเพียเจต์ เช่น การให้ความสำคัญกับการกระตุ้นให้ผู้เรียนมีบทบาทและกระตือรือร้นในกระบวนการเรียนรู้ ทฤษฎีการเรียนคณิตศาสตร์ของดีนส์ ประกอบด้วยกฎหรือหลัก 4 ข้อ(อัมพร ม้าคะนอง, 2546 : 2) ดังนี้
2.1 กฎของภาวะสมดุล (the dynamic principle) กฎนี้กล่าวไว้ว่า ความเข้าใจที่แท้จริงในมโนทัศน์ใหม่นั้นเป็นพัฒนาการที่เกี่ยวข้องกับผู้เรียน 3 ขั้น คือ
ขั้นที่หนึ่ง เป็นขั้นพื้นฐานที่ผู้เรียนประสมกับมโนทัศน์ในรูปแบบที่ไม่มีโครงสร้างใด ๆ เช่น การที่เด็กเรียนรู้จากของเล่นชิ้นใหม่โดยการเล่นของเล่นนั้น
ขั้นที่สอง เป็นขั้นที่ผู้เรียนได้พบกับกิจกรรมที่มีโครงสร้างมากขึ้น ซึ่งเป็นโครงสร้างที่คล้ายคลึงกับโครงสร้างของมโนทัศน์ที่ผู้เรียนจะได้เรียน
ขั้นที่สาม เป็นขั้นที่ผู้เรียนเกิดการเรียนรู้มโนทัศน์ทางคณิตศาสตร์ที่จะเห็นได้ถึงการนำมโนทัศน์เหล่านั้นไปใช้ในชีวิตประจำวัน
ขั้นตอนทั้งสามเป็นกระบวนการที่ดีนส์เรียกว่า วัฏจักรการเรียนรู้ (learning cycle) ซึ่งเป็นสิ่งที่เด็กจะต้องประสบในการเรียนรู้มโนทัศน์ทางคณิตศาสตร์ใหม่ ๆ
2.2 กฎความหลากหลายของการรับรู้ (the perceptual variability principle) กฎนี้เสนอแนะว่าการเรียนรู้มโนทัศน์จะมีประสิทธิภาพดีเมื่อผู้เรียนมีโอกาสรับรู้มโนทัศน์เดียวกันในหลาย ๆ รูปแบบ ผ่านบริบททางกายภาพ นั้นคือ การจัดสิ่งที่เป็นรูปธรรมที่หลากหลายให้ผู้เรียนเพื่อให้เข้าใจโครงสร้างทางมโนทัศน์เดียวกันนั้นจะช่วยในการได้มาซึ่งมโนทัศน์ทางคณิตศาสตร์ของผู้เรียนได้เป็นอย่างดี
2.3 กฎความหลากหลายทางคณิตศาสตร์ (the mathematical variability principle) กฎข้อนี้กล่าวว่า การอ้างอิงมโนทัศน์ทางคณิตศาสตร์หรือการนำมโนทัศน์ทางคณิตศาสตร์ไปใช้จะมีประสิทธิภาพมากขึ้นถ้าตัวแปรที่ไม่เกี่ยวข้องกับมโนทัศน์นั้นเปลี่ยนไปอย่างเป็นระบบในขณะที่คงไว้ซึ่งตัวแปรที่เกี่ยวข้องกับมโนทัศน์นั้น ๆ เช่น การสอนมโนทัศน์ของรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน ตัวแปรที่ควรเปลี่ยนไป คือ ขนาดของมุม ความยาวของด้าน แต่สิ่งที่ควรคงไว้ คือ ลักษณะสำคัญของรูปสี่เหลียมด้านขนานที่ต้องมีด้านสี่ด้าน และด้านตรงข้ามขนานกัน
2.4 กฎการสร้าง (the constructivist principle) กฎข้อนี้ให้ความสำคัญกับการสร้างความรู้ว่า ผู้เรียนควรได้พัฒนามโนทัศน์จากประสบการณ์ในการสร้างความรู้เพื่อก่อให้เกิดความรู้ทางคณิตศาสตร์ที่สำคัญและมั่นคงและจากพื้นฐานเหล่านี้ จะนำไปสู่การวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์ต่อไป กฎข้อนี้เสนอแนะให้ผู้สอนจัดสิ่งแวดล้อมการเรียนรู้ที่เป็นรูปธรรม เพื่อให้ผู้เรียนสร้างความรู้ทางคณิตศาสตร์จากสิ่งที่เป็นรูปธรรมนั้น และสามารถวิเคราะห์สิ่งที่สร้างนั้นต่อไปได้
3. ทฤษฎีการเรียนการสอนของบรูเนอร์
ทฤษฎีนี้เกี่ยวข้องโดยตรงกับการเรียนการสอนคณิตศาสตร์ โดยกล่าวถึงการเรียนการสอนที่ดีว่า ต้องประกอบด้วยองค์ประกอบสำคัญ 4 ประการ คือ โครงสร้างของเนื้อหาสาระความพร้อมที่จะเรียนรู้ การหยั่งรู้โดยการคะเนจากประสบการณ์อย่างมีหลักเกณฑ์และแรงจูงใจที่จะเรียนเนื้อหาใด ๆ บรูเนอร์ให้ความสำคัญกับสมดุลระหว่างผลลัพธ์กับกระบวนการเรียนการสอน บรูเนอร์ เชื่อว่า มนุษย์เลือกที่จะรับรู้สิ่งที่ตนเองสนใจและการเรียนรู้เกิดจากกระบวนการค้นพบด้วยตนเอง แนวคิดที่สำคัญ ๆ ของ บรูเนอร์ (ทิศนา แขมมณี, 2545 : 66) มีดังนี้ 1) การจัดโครงสร้างของความรู้ให้มีความสัมพันธ์และสอดคล้องกับพัฒนาการทางสติปัญญาของเด็ก มีผลต่อการเรียนรู้ของเด็ก 2) การจัดหลักสูตรและการเรียนการสอนให้เหมาะสมกับระดับความพร้อมของผู้เรียนและสอดคล้องกับพัฒนาการทางสติปัญญาของผู้เรียนจะช่วยให้การเรียนรู้เกิดประสิทธิภาพ 3) การคิดแบบหยั่งรู้ เป็นการคิดหาเหตุผลอย่างอิสระที่สามารถช่วยพัฒนาความคิดริเริ่มสร้างสรรค์ได้ 4) แรงจูงใจภายใน เป็นปัจจัยสำคัญที่จะช่วยให้ผู้เรียนประสบผลสำเร็จในการเรียนรู้ 5) การเรียนรู้เกิดขึ้นได้จากการที่คนเราสามารถสร้างความคิดรวบยอด หรือสามารถจัดประเภทของสิ่งต่าง ๆ ได้อย่างเหมาะสม 6) การเรียนรู้ที่ได้ผลดีที่สุดคือการให้ผู้เรียนค้นพบการเรียนด้วยตนเอง
นอกจากนี้ บรูเนอร์ยังให้แนวความคิดว่า มนุษย์สามารถเรียนหรือคิดเกี่ยวกับคณิตศาสตร์ได้ 3 ระดับ (อัมพร ม้าคะนอง, 2546 : 3) ดังนี้
3.1 ที่มีประสบการณ์ตรงและสัมผัสได้ เช่น ผู้เรียนรวมของ 4 ชิ้น กับ ของ 5 ชิ้น เพื่อเป็นของ 9 ชิ้น ซึ่งเป็นการสัมผัสกับสิ่งที่เป็นรูปธรรม
3.2 ระดับของการใช้ภาพเป็นสื่อในการมองเห็น เช่น การใช้รูปภาพ ไดอะแกรม ฟิล์ม ที่เป็นสื่อทางสายตา ตัวอย่างการเรียนรู้ระดับนี้ เช่น ผู้เรียนดูภาพรถ 4 คัน ในภาพแรก ดูภาพรถ 5 คัน ในภาพที่สอง และดูภาพรถรวม 9 คัน ในภาพที่สามซึ่งเป็นภาพรวมของรถในภาพที่หนึ่งและภาพที่สอง รถ 9 คันนี้เกิดจากการที่ผู้สอนวางแผนให้ผู้เรียนเรียนรู้ มิใช่เกิดจากตัวของผู้เรียนเอง
3.3 ระดับของการสร้างความสัมพันธ์และใช้สัญลักษณ์ ซึ่งเป็นระดับที่ผู้เรียนสามารถเขียนสัญลักษณ์แทนสิ่งที่เห็นในระดับที่สอง หรือสิ่งที่สัมผัสในระดับที่หนึ่งได้ เช่น การเขียน 5 + 4 = 9 เป็นสัญลักษณ์แทนภาพในระดับที่ 2
แนวคิดของบรูเนอร์ปรากฏอยู่ในผลงานของเลช ซึ่งเป็นที่รู้จักกันดีในนามของโมเดลของเลช เลชใช้แนวคิดข้างต้นของบรูเนอร์ในการสร้างโมเดลที่แสดงว่าผู้เรียนสามารถใช้วิธีแสดงความคิดทางคณิตศาสตร์ได้ในหลาย ๆ รูปแบบ เช่น จากความรู้ที่เกิดจากการใช้สื่อรูปธรรมสามารถแสดงความรู้นั้นในรูปของรูปภาพ ภาษาเขียน ภาษาพูด และสถานการณ์จริงได้ โมเดลนี้ทำให้เกิดการพัฒนาด้านอื่น ๆ ที่ผู้สอนควรคำนึงถึง เช่น การให้ผู้เรียนได้พูดและได้เขียนมากขึ้น การได้พูดและเขียนเป็นการเปลี่ยนวิธีแสดงความคิดที่สะท้อนถึงความเข้าใจของผู้เรียน ตามโมเดลที่เลชได้เสนอนั้น ผู้สอนสามารถประเมินความเข้าใจของผู้เรียนได้จากการดูว่า ผู้เรียนสามารถเปลี่ยนความเข้าใจจากรูปแบบหนึ่งไปเป็นอีกรูปแบบหนึ่งได้หรือไม่ เช่น ถ้าผู้เรียนสามารถเขียนสิ่งที่ตนอธิบายให้เพื่อนฟังเป็นภาษาเขียนได้ แสดงว่าผู้เรียนมีความเข้าใจในสิ่งที่พูด เนื่องจากสามารถเปลี่ยนจากภาษาพูดเป็นภาษาเขียน โมเดลการแปลงของเลชมีรายละเอียดตามภาพ 1 (อัมพร ม้าคะนอง, 2546 : 4)